En Pierre, wat hebben zij gewonnen.....

En Pierre, wat hebben zij gewonnen…? Op het door felle studiolampen verlichte podium trekt de assistente van Willem Ruis het gordijn opzij. Erachter staat een fonkelnieuwe sportwagen te blinken. Helemaal voor jou! Het studiopubliek joelt en klapt. Willem opent het portier en nodigt je uit om plaats te nemen op de chauffeursstoel….



De Amerikaanse variant van dezelfde eindronde in de Monty Hall Show



Het was een ogenschijnlijk simpel spelletje, de eindronde. Drie gesloten gordijnen, A, B en C. Achter twee ervan een lullig troostprijsje, maar achter één gordijn gaat de nieuwe sportwagen schuil. Je mag één gordijn aanwijzen. Eén kans, voor drie gordijnen. Een kans van slechts één op drie om de nieuwe sportwagen te winnen. Of toch niet?

Je wijst gordijn C aan. Willem vraagt of je het zeker weet. Je knikt. Willem steekt voorzichtig zijn hoofd door de drie gordijnen om te zien wat er achter zit. Dan trekt hij ineens gordijn B open. Erachter staat een geit, die verbaasd het publiek in kijkt. Dan vraagt Willem wat je gaat doen: blijf je bij je keuze voor gordijn C, of wissel je toch maar liever naar het andere nog dichte gordijn: A.



Willem Ruis



Dit ogenschijnlijk vrij simpele probleem is één van de meest contra-intuitieve problemen in de wiskunde. Internationaal staat het bekend als het ‘Monty Hall problem’, in Nederland hebben we de Amerikaanse quizmaster Monty Hall vervangen door ons eigen icoon en kennen we het als het Willem Ruis driedeurenprobleem. In de wiskundige variant is het spelletje een beetje geformaliseerd: de quizmaster weet vooraf achter welk gordijn de sportwagen schuilgaat. Na jouw eerste keuze trekt hij altijd één gordijn open. Dat zal nooit het gordijn zijn wat jij zelf hebt aangewezen en het zal nooit het gordijn zijn waarachter de sportwagen staat maar altijd een geit. 

 Het probleem is simpelweg: maak je dan  meer kans op de sportwagen als je bij onze keuze blijft, of maak je meer kans als je toch nog wisselt van keuze? Of maakt het niet uit?

Dit probleem is (voor een wiskundige, althans) niet heel ingewikkeld, maar het antwoord is waarschijnlijk niet wat je verwacht. Het heeft in de loop van zijn gechiedenis heel wat mensen op het verkeerde been gezet, waaronder zelfs beroemde wiskundigen! Ook Monty Hall zelf schijnt het probleem trouwens nooit echt begrepen te hebben. En Willen Ruis kunnen we het helaas niet meer navragen....

Er zijn ruwweg drie manieren om het probleem aan te pakken. De eerste is op basis van kansrekening en heel kort, maar niet iedereen wil zich hierdoor laten overtuigen. De tweede manier is door simpelweg alle mogelijkheden uit te schrijven en te tellen.  Voor wie het dan nog niet gelooft is het ook nog mogelijk om het gewoon te proberen.



Te vaak van keuze gewisseld: sportgeit!



Laten we eens beginnen met de kortste uitleg op basis van kansrekening: als we in eerste instantie kiezen voor gordijn C, dan is er een kans van 1 op 3 dat we goed zitten. Als Willem Ruijs daarna  een ander gordijn opentrekt verandert daar helemaal niets aan. Kortom als we bij onze keuze blijven is de kans op een sportwagen nog steeds 1 op 3. Eén gordijn is open, en daar staat zeker een geit. Kortom de kans dat daar een sportwagen staat is nul. We weten echter zeker dat ergens achter een    gordijn nog een sportwagen staat, dus die totale kans is één (op één).  De som van de kansen van beide nog gesloten gordijnen moet dus ook één zijn. Omdat de kans van gordijn C gelijk is aan 1 op 3, moet de kans van het andere nog gesloten gordijn dus wel 2 op 3 zijn. Wisselen maakt je kans dus twee keer zo groot in dit geval!

De ervaring leert echter dat niet iedereen op basis van het bovenstaande al  ‘om’ is. Een alternatieve manier is om alle varianten uit te schrijven. We hebben drie plekken waar de sportwagen kan staan. We gaan er even van uit dat wij altijd voor gordijn C kiezen, want dat maakt voor het verhaal niet uit maar maakt de telling wat eenvoudiger (als we een ander  gordijn kiezen dan kunnen we gewoon even de labels verhangen zodat het toch weer C heet, dus dat maakt niets uit). Dat geeft de volgende combinaties:

1. Sportwagen achter A, wij kiezen C, Willem kan dan alleen nog B kiezen om open te doen (geit)
2. Sportwagen achter B, wij kiezen C  Willem kan dan alleen nog A kiezen om open te doen (geit)
3. Sportwagen achter C, wij kiezen C, Willem opent of A of B (in beide gevallen staat daar een geit)

Stel nu dat je bij je keuze blijft voor C. Dan gebeurt in deze dezelfde drie gevallen het volgende:

1. Je blijft bij C, de sportwagen stond achter A, dus je wint een geit
2. Je blijft bij C, de sportwagen stond achter B, dus je wint een geit
3. Je blijft  bij C, de sportwagen stond achter C, dus je wint de sportwagen.

Kortom inderdaad een kans van 1 op 3. Maar kijk nu wat er bij diezelfde combinaties gebeurt als je van keuze wisselt:

1. B toont een geit dus je wisselt naar A. De sportwagen staat achter A, je wint de sportwagen!
2. A toont een geit dus je wisselt naar B. De sportwagen staat achter B, je wint de sportwagen!
3. In de geval wissel  je van C naar A of B (het gordijn dat Willem nog niet heeft opengerukt). De sportwagen stond echter achter C dus elke wissel is fout. Je wint een geit.

Door te wisselen heb je nu dus twee van de drie keer de sportwagen te pakken. Alleen als je eerste keuze goed was (en die kans is maar 1 op 3) verlies je, in het andere geval win je altijd. Wie wat visueler ingesteld is kan het onderstaande filmpje nog eens bekijken (in het Engels):

Voor wie het nu nog steeds niet gelooft is er nog maar één mogelijkheid: zelf proberen. Willem Ruis kan je daarbij niet meer helpen, maar op het Internet is een virtuele quizmaster beschikbaar (met helaas ook virtuele sportwagens en geiten). Veel succes!

En wie wil er nu eigenlijk nog een sportwagen winnen?

Astronomische getallen en nog veel erger

Dat wensen over geld en weelde (en dan met name in combinatie met grote hoeveelheden) verleidelijk doch gevaarlijk zijn is algemeen bekend. Denk maar aan het verhaal over koning Midas die zo dom was om te wensen dat alles wat hij aanraakte in goud zou veranderen en toen bijna van de honger en dorst het loodje legde. Toch waren er enkele lezers die de moed hadden om in de vorige blog te wensen dat zij Grahamnair zouden worden. Het blogje van deze week zal daarom twee dingen proberen te doorgronden: 1) wat een Grahamnair nu in hemelsnaam is en 2) waarom je dat absoluut niet moet willen zijn.
Wat de eerste vraag betreft: noch via Google (waarover later meer, het heeft een bijzondere en onverwachte relatie met dit onderwerp) noch via het woordenboek zal je erachter komen wat een Grahamnair is. Het meest waarschijnlijke is dat de lezer in kwestie doelde op iemand die een fortuin op de bank heeft staat ter grootte van het getal van Graham. Zoals je nu geraden hebt is het getal van Graham een groot getal. In feite is het één van de grootste getallen die in de wiskunde benoemd is en zelfs gebruikt is in het één of andere bewijs (wil je weten welke en heb je geen problemen met raadsels over tweekleurige multidimensionale hyperkubussen, zoek het dan even na op Wikipedia). Hoe groot het nu eigenlijk is en wat de implicaties zijn voor de aankomende Grahamnair, zullen we dadelijk uitpluizen.

Turven

Allereerst even een kort uitstapje naar hoe we getallen opschrijven. De meest primitieve manier om een getal te noteren is: turven. Als je een bestelling wilt opnemen dan voldoet deze techniek prima, maar zou je op die manier bijvoorbeeld de omtrek van de aarde in meters willen noteren dan kost je dat ruwweg net zoveel tijd als hem rond te wandelen: het zijn net zoveel streepjes als wandelstappen! Bovendien zou je erg veel papier nodig hebben. Toch gebruikten de Romeinen nog een opgekrikte versie van dit turfsysteen en wisten ze daarmee ook nog half Europa te veroveren (ja, behalve dat kleine dorpje in een uithoek van Gallie natuurlijk). In de wetenschap hebben ze echter nauwelijks iets gepresteerd en dat kan heel goed met hun talstelsel te maken hebben gehad.



Babylonische rekentablet

Dat is nog erger als je weet dat de Babylonieers al duizenden jaren eerder een veel beter systeem hadden bedacht: Ze hadden een notatiesysteem dat van 1 tot 59 liep. Maar de crux zit hier: in plaats van voor het getal 60 een heel nieuw symbool te bedenken (wat de Roemeinen hadden gedaan) noteerden ze daar gewoon weer het bekende cijfer 1, maar dan een stukje verder naar links. Nu gaf dat soms wel wat verwarring, want een losse 1 kon op die manier allerlei verschillende betekenissen hebben: gewoon 1 maar ook 60 of zelf 3600 (60x60) of als breuk ook 1/60. Gelukkig bedacht men later in India nog de nul en de komma. Ook stapte men daar terug van zestig verschillende basiscijfers naar slechts tien. Via de Arabieren hebben wij dit systeem uit India ook overgenomen.
Het 'positionele talstelsel' zoals dat dan officieel heet, is enorm krachtig: ik kan nu bijvoorbeeld de omtrek van de aarde in meters met slechts zeven symbolen uitschrijven: 40075160. Voor een afmeting die nog eens tien keer zo groot is, heb ik steeds maar 1 tekens extra nodig. Op die manier komt het hele universum zelfs binnen bereik: voor de werkelijk gigantische afmeting van het hele zichtbare heelal in meters heb ik toch maar slechts 26 cijfers nodig. En hoever zou je eigenlijk willen kunnen tellen? Het allergrootste getal dat je met het tellen van echte fysieke objecten zou kunnen bereiken is het totaal aantal elementaire deeltje (quarks, elektronen maar vooral neutrinos en fotonen) in het hele zichtbare heelal. Dat is een echt gigantische hoeveelheid maar waarschijnlijk toch wel met minder dan 90 cijfers uit te schrijven: dat past met wat goede wil nog zo'n beetje in één regel tekst. Een één met 90 nullen heeft zelfs nog een naam: een quindecillion.

Stel nou eens dat je geen miljonair en zelfs geen miljardair maar quindecillionair zou zijn! Voor je boekhouder zou dat geen onoverkomelijk probleem zijn: hij moet wel met 91 cijfers voor de komma rekenen (en twee cijfers erachter, het blijft tenslotte wel een boekhouder...) maar een extra breed kasboek kan je met zo'n kapitaal op de bank wel vanaf. Een veel lastiger probleem is wat je met al dat geld moet doen: je beschikt misschien wel over zo'n tien tot  honderd Euro of Dollars voor elk elementair deeltje in het universum. Er is dus domweg niet genoeg te koop of je moet er geen probleem in zien om een bedrag van zo'n 25 nullen neer te leggen voor een druppel water. Al dat geen inflatie is...

Maar: een quindecillionair is nog lang geen Grahamnair! Met fysiek tellen kom je misschien niet hoger, maar wiskundig kan je er altijd nog eentje bij op tellen, of in dit geval ook: er nog een extra nulletje achter plaatsen. Met tien extra nullen achter een quindecillion heb je ineens een getal met maar liefst 100 nullen. In 1934 vroeg de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner aan zijn (toen) 9-jarige neefje of-ie geen mooie naam wist voor zo'n groot getal. Die kan dat wel verzinnen: Googol. Naar deze prachtige naam voor een getal met 100 nullen is dus die bekende internet firma genoemd, die daarbij helaas wel een spelfout heeft gemaakt. Ze kunnen blijkbaar beter rekenen dan spellen aldaar.

Kan het nog gekker? Tuurlijk...! in de vorige blog kon je lezen dat het grootste priemgetal dat tot dusver is gevonden bestaat uit 12978189 cijfers. Daarbij valt zelfs het getal googol dus volledig in het niet: het is immers 12978088 cijfers langer dan googol! Bovendien beginnen we hier langzamerhand tegen de limieten van ons talstelsel aan te lopen: de internetpagina waar de volledig uitgeschreven weergave van dit priemgetal te vinden is beslaat al zo'n 16MB. Met een dergelijk bedrag op de bank komt je boekhouder er niet meer uit met pen en papier! Alleen met moderne computers zijn dergelijke getallen nog net te manipuleren. En daarmee is dat priemgetal natuurlijk ook ontdekt.
Een priemgtal van bijna dertien miljoen cijfers is al belachelijk groot, maar je kunt natuurlijk ook nog bedenken dat er ook een getal zou kunnen zijn van een miljard cijfers lang. Of van een biljoen cijfers lang. Of nog beter: van googol cijfers lang. Die laatste heeft weer zowaar een naam: het googolplex.

Met een slordige googolplex op je bankrekening krijgt je boekhouder een serieus probleem: niet alleen de waarde van het bedrag maar ook het aantal cijfers is nu groter dan het aantal elementaire deeltjes in het heelal beschikbaar zijn. Je zou ongeveer 10 miljard cijfers moeten kunnen bijhouden per elke quark, electron, neutrino of foton. En dat is volstrekt onmogelijk. En dan hebben we het nog niet eens over die twee cijfers achter de komma! Plus als je alles in het universum al nodig hebt om je saldo op bij te houden, blijft er helemaal niets meer over om aan te schaffen...

En dan die Graham. Was googolplex als getal al niet te bevatten: het getal van Graham is nog waanzinnig veel groter dan een één met googolplex nullen. Waar bij googolplex het aantal deeltjes in het heelal een probleem werd om het te noteren, is bij het getal van Graham zelfs de beschikbare hoeveel ruimte in het universum niet genoeg om het als getal uit te schrijven. Zelfs al maken we elk cijfer kleiner dan de kern van een atoom en gebruiken we de het complete driedimensionale universum, dan nog gaat het niet passen. Merkwaardig genoeg is het een aantal wiskundigen nog wel gelukt om de laatste 500 cijfers uit te rekenen. Voor de liefhebbers:

...02425950695064738395657479136519351798334535362521
   43003540126026771622672160419810652263169355188780
   38814483140652526168785095552646051071172000997092
   91249544378887496062882911725063001303622934916080
   25459461494578871427832350829242102091825896753560
   43086993801689249889268099510169055919951195027887
   17830837018340236474548882222161573228010132974509
   27344594504343300901096928025352751833289884461508
   94042482650181938515625357963996189939679054966380
   03222348723967018485186439059104575627262464195387

Moraal van het verhaal: wordt nooit boekhouder, en al zeker niet die van een Grahamnair...

Etre et Avoir en de Priemgetallen

Deze keer geen verhaaltje over cosmologie en sterrenkunde, maar over priemgetallen... En wiskunde zoals je dat nooit op school krijgt en die (hoop ik) ook voor niet-beta's te volgen is. En hiervoor gaan we naar de film!
Een paar jaar geleden was de film 'Etre et Avoir' razend populair in de filmhuizen (zie de trailer hieronder ter kenismaking dan wel ter opfrissing). Het is een mooie langzame documentaire over een idyllisch lagere schooltje op het Franse platteland met een idyllische leraar en idyllische leerlingen.





De school heeft maar één klasje waarin alle leerlingen zitten, de jongste 6, de oudste 12. Op en dag gaan de oudste leerlingen naar een kennismakingsdag van de middelbare school waar ze volgend jaar naar toe zullen gaan. Maar ja, de leraar kan de andere leerlingen natuurlijk niet alleen laten, dus het hele schooltje - jong en oud - gaat mee. Terwijl de oudere leerlingen bezig worden gehouden, zit de leraar met de kleintjes ergens te wachten. Dan onstaat (ongeveer) het volgende gesprek tussen de leraar en het ongeveer 7-jarige jongetje JoJo:

De leraar en JoJo

Leraar: "JoJo, wat is het grootste getal eigenlijk, dat je kent?"
JoJo denk even na en zegt dan "100."
Leraar: "Is 100 echt het grootste getal?"
JoJo knikt langzaam.
Leraar: "En 101 dan?"
JoJo denk na. "O ja. Dan is 101 het hoogste getal."
Leraar: "Maar 102 dan en 103 en 104?"
JoJo: "1000!"
Leraar: "Is 1000 dan het grootste getal."
JoJo knikt en kijkt uit het raam.
Leraar: "Maar 1001 dan, en 1002?"
Ergens hier raakt JoJo afgeleid door iets veel belangrijkers, zoals een konijn in een hok aan de overkant van de straat, en wordt deze dialoog helaas definitief afgebroken...

Nu kan je dat JoJo eigenlijk ook niet kwalijk nemen, want wat de leraar hem hier spontaan probeert te
laten vatten lijkt simpel maar is feitelijk een pittig staaltje wiskundige logica!

Het gaat als volgt:
1: We nemen een stelling. Bijvoorbeeld dat er een onbekend geheel getal bestaat - laten we dat voor het gemak even x noemen - dat het allerallergrootste gehele getal is dat er bestaat.
2: We weten natuurlijk niet zeker of die stelling wel klopt, maar we nemen aan dat de stelling waar is. Gewoon om eens te kijken wat er gebeurt als de stelling inderdaad waar is.
3: Vervolgens doen we eens stukje redenatie. We weten bevoorbeeld dat als we een getal x hebben, dat we dan altijd een ander getal (laten we dat getal y noemen) kunnen maken door 1 bij x op te tellen. Vervolgens kunnen we vaststellen dat y daarmee groter is dan x.
4: Maar hé, dat is raar! Want onze stelling daarnet was namelijk dat x het allerallergrootste getal was. En nu is er een getal y dat nog groter is. Dat kan niet. Tegenspraak!
5: Maar we hebben nergens een fout in onze redenering gemaakt. Dus is er of iets fundamenteel mis met de wiskunde, of de stelling waarmee we begonnen zijn klopt niet.

Laten we de consistentie van de wiskunde nog even het voordeel van de twijfel geven (als je het daar niet mee eens bent, dan kun je nu natuurlijk stoppen met lezen) dus het moet wel onze eigen stelling - dat er een getal x bestaan dat het allerhoogste getal is wat er bestaat - die niet klopt. Met andere woorden: er bestaat geen allerhoogste geheel getal ofwel er bestaan oneindig veel gehele getallen. Deze manier van bewijzen noemen wiskundigen een 'bewijs uit het ongerijmde'.

Tot zover heeft er denk ik nog niemand hoofdpijn gekregen van dit verhaal (toch?). Maar het verhaal gaat nog één stapje verder. In gedachten spoelen we de bioscoopfilm nog zo'n 8 jaar door. JoJo heeft het klasje verlaten en zit inmiddels een paar jaartjes op de middelbare school waar hij populair is bij de meisjes uit het stadje. De leraar is nu trouwens helemaal grijs geworden en moet nog een paar jaartjes voor hij van zijn pensioen kan gaan genieten en full-time gaat jeu-de-boulen. Ook dit jaar bezoekt hij met zijn leerlingen de kennismakingsdag van de middelbare school van het stadje, waar hij - jawel - JoJo zowaar weer tegen het lijf loopt:

Leraar: "JoJo! Wat ben je gegroeid! Ik had je haast niet herkent! Hoe vergaat het je hier?"
JoJo: "Ha meester! Gaat best hoor. Wel druk met huiswerk en zo..."
Leraar: "O ja? Wat voor huiswerk zoal?"
JoJo: "We hebben net wiskunde gehad, het ging over priemgetallen."
Leraar: "Priemgetallen? Wat zijn dat?"
JoJo: "Het zijn rare getallen die je niet kan delen. Behalve dan door 1 en door zichzelf, maar dat telt niet. Bijvoorbeeld 7 en 11. En 23."
Leraar: "Maar hoe weet je dat dat priemgetallen zijn?"
JoJo: "Gewoon. Proberen. Je moet ze proberen te delen door alle getallen die kleiner zijn. En als dat ergens lukt dan is het dus geen priemgetal. Maar als je bij elke deling een rest overhoudt, dan is het een priemgetal".
Leraar: "Dus als ik wil weten of 11 een priemgetal is dan moet ik het eerst proberen te delen door 2. 11 gedeeld door 2, dat is 5 met rest 1."
JoJo: "Ja, en daarna dan 11 gedeeld door 3, dan krijg je 3 met rest 2. Kan dus nog steeds een priemgetal zijn."
Leraar: "En dan 11 gedeeld door 4. Dat is dan 2 met rest 3."
JoJo: "Delen door 4 dat hoeft eigenlijk niet."
Leraar: "Huh? Daarnet zei je nog van wel?"
JoJo: "Nou ja, het mag wel. Maar omdat je al door 2 hebt gedeeld en toen een rest overhield, kan delen door 4 natuurlijk ook niet zonder dat je rest overhoudt.  Want dat is delen door 2 en dan nog eens delen door 2. Eigenlijk hoef je daarom alleen maar door de priemgetallen te delen. Als dat niet lukt dan kan de rest automatisch ook niet lukken."
Leraar: "O. Welke zijn dat dan nog?"
JoJo zoekt even in de aantekeningen van zijn laatste les. "5, 7 en dan niets meer tot 11", is zijn conclusie.
Leraar: "OK dan: 11 gedeeld door 5 geeft 2 rest 1. En 11 gedeeld door 7 is 1 rest 4. Dus alle delingen geven een rest."
JoJo: "En daarmee is 11 dan ook een priemgetal...".
Leraar: "Goh. Dat is interessant... Hoeveel van die priemgetallen zijn er eigenlijk?"
JoJo bladert in zijn wiskundeboek. "Er staan er tien in mijn boek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29."
Leraar: "En dus 29 is het allerhoogste priemgetal dat er bestaat?"
JoJo moet ineens aan een konijn denken dat hij vroeger kon zien zitten aan een hok aan de overkant van de straat. Vreemd, denkt hij, dat dat beeld hem nu ineens te binnen schiet.
Leraar: "...of zou er misschien nog een priemgetal bestaan dat groter is dan 29?".
JoJo schrikt op van de vraag. "Ik denk het niet", zegt hij bedachtzaam, "want dan had het wel in mijn boek gestaan, lijkt me."
Leraar: "Maar stel nou eens dat je al die priemgetallen die je daar hebt met elkaar vermenigvuldigt. Wat voor getal krijg je dan?".
JoJo zucht even en grabbelt dan in zijn tas. Even later diept hij een klein calculatortje op. Hij zet hem aan en begint de flinke som in the kloppen: "Dan krijg je 6469693230!" zegt hij opgelucht.
Leraar: "Interessant. Zou dat ook een priemgetal kunnen zijn, denk je?".
JoJo kijkt nog eens goed naar het resultaat. "Nee", zegt hij dan beslist. "Want het is deelbaar door 2. Trouwens, het is ook deelbaar door 3. En door 5. En door 7, 11, 13 enzovoort, want die hebben we juist allemaal met elkaar vermenigvuldigd, daarnet."
De leraar kijkt naar het plafond. "Dus.. door welk van onze priemgetallen je het ook maar deelt, het restant van de deling is steeds NUL. Is dat even interessant!".
JoJo kijkt stiekem op zijn horloge.
Leraar: "Ja. Tel er nu eens één bij op?"
JoJo: "Waarbij?"
Leraar: "Bij 6469693230".
JoJo pakt zijn calculator, twijfelt even, en legt hem dan weer weg.  "Dat is makkelijk: 6469693231" zegt hij dan.
Leraar: "Zou dat dan een priemgetal kunnen zijn?"
JoJo: "Dat zal toch niet? Dan zou die wel heel veel groter zijn dan alle priemgetallen die we kennen."
Leraar: "We kunnen het toch proberen. We weten toch alle tien de priemgetallen uit je boek. We hoeven het maar tien keer te delen om erachter te komen"
JoJo zucht. "OK, delen door 2.... geeft rest 1.... Delen door 3.... Ook rest 1. Delen door 5 geeft ook al rest 1." Even is hij stil "Ja! Dat is ook logisch, dat is steeds die 1 die we er net bij opgeteld hebben. Net konden we nog alles netjes delen met rest nul. Nu houden we overal precies als rest de ene over die we erbij hebben geteld!"
Leraar: "Dus?"
JoJo: ".....Het is een priemgetal! Dus 29 is helemaal niet het hoogste priemgetal! 6469693231 is het hoogste priemgetal!"
Leraar: "En zouden er dan nog andere priemgetallen tussen 29 en 6469693231 liggen?"
JoJo: "Dat lijkt me best wel goed mogelijk, maar we kunnen ze natuurlijk vinden door ze één voor één na te rekenen. Dan ben je wel even bezig, maar dan zijn we eindelijk wel een keer van dat enorme gedoe met die priemgetallen af!"
Leraar: "Dat lijkt me wel veel werk. Misschien kan dat ook wel simpeler trouwens. Maar hoe dan ook: stel nou eens JoJo, dat je al straks die priemgetallen van 2 tot 6469693231 hebt gevonden?"
JoJo: "Ja?"
Leraar: "En dat je ze dan weer allemaal met elkaar vermenigvuldigt. Die hele lijst met alle priemgetallen. En er dan weer 1 bij optelt?"
Aan de overkant van de straat lopen drie meisjes voorbij. Eentje zwaait naar het raam van de school.
JoJo: "Sorry meester, maar ik moet nu echt weg. Bent u hier volgend jaar weer?"




(Met dank aan Euclides voor het originele idee)

PS: Het op dit moment (24-1-2012) grootste bekende priemgetal bestaat uit maar liefst12978189 cijfers. Echte liefhebbers kunnen hem hier bekijken.