En Pierre, wat hebben zij gewonnen.....

En Pierre, wat hebben zij gewonnen…? Op het door felle studiolampen verlichte podium trekt de assistente van Willem Ruis het gordijn opzij. Erachter staat een fonkelnieuwe sportwagen te blinken. Helemaal voor jou! Het studiopubliek joelt en klapt. Willem opent het portier en nodigt je uit om plaats te nemen op de chauffeursstoel….



De Amerikaanse variant van dezelfde eindronde in de Monty Hall Show



Het was een ogenschijnlijk simpel spelletje, de eindronde. Drie gesloten gordijnen, A, B en C. Achter twee ervan een lullig troostprijsje, maar achter één gordijn gaat de nieuwe sportwagen schuil. Je mag één gordijn aanwijzen. Eén kans, voor drie gordijnen. Een kans van slechts één op drie om de nieuwe sportwagen te winnen. Of toch niet?

Je wijst gordijn C aan. Willem vraagt of je het zeker weet. Je knikt. Willem steekt voorzichtig zijn hoofd door de drie gordijnen om te zien wat er achter zit. Dan trekt hij ineens gordijn B open. Erachter staat een geit, die verbaasd het publiek in kijkt. Dan vraagt Willem wat je gaat doen: blijf je bij je keuze voor gordijn C, of wissel je toch maar liever naar het andere nog dichte gordijn: A.



Willem Ruis



Dit ogenschijnlijk vrij simpele probleem is één van de meest contra-intuitieve problemen in de wiskunde. Internationaal staat het bekend als het ‘Monty Hall problem’, in Nederland hebben we de Amerikaanse quizmaster Monty Hall vervangen door ons eigen icoon en kennen we het als het Willem Ruis driedeurenprobleem. In de wiskundige variant is het spelletje een beetje geformaliseerd: de quizmaster weet vooraf achter welk gordijn de sportwagen schuilgaat. Na jouw eerste keuze trekt hij altijd één gordijn open. Dat zal nooit het gordijn zijn wat jij zelf hebt aangewezen en het zal nooit het gordijn zijn waarachter de sportwagen staat maar altijd een geit. 

 Het probleem is simpelweg: maak je dan  meer kans op de sportwagen als je bij onze keuze blijft, of maak je meer kans als je toch nog wisselt van keuze? Of maakt het niet uit?

Dit probleem is (voor een wiskundige, althans) niet heel ingewikkeld, maar het antwoord is waarschijnlijk niet wat je verwacht. Het heeft in de loop van zijn gechiedenis heel wat mensen op het verkeerde been gezet, waaronder zelfs beroemde wiskundigen! Ook Monty Hall zelf schijnt het probleem trouwens nooit echt begrepen te hebben. En Willen Ruis kunnen we het helaas niet meer navragen....

Er zijn ruwweg drie manieren om het probleem aan te pakken. De eerste is op basis van kansrekening en heel kort, maar niet iedereen wil zich hierdoor laten overtuigen. De tweede manier is door simpelweg alle mogelijkheden uit te schrijven en te tellen.  Voor wie het dan nog niet gelooft is het ook nog mogelijk om het gewoon te proberen.



Te vaak van keuze gewisseld: sportgeit!



Laten we eens beginnen met de kortste uitleg op basis van kansrekening: als we in eerste instantie kiezen voor gordijn C, dan is er een kans van 1 op 3 dat we goed zitten. Als Willem Ruijs daarna  een ander gordijn opentrekt verandert daar helemaal niets aan. Kortom als we bij onze keuze blijven is de kans op een sportwagen nog steeds 1 op 3. Eén gordijn is open, en daar staat zeker een geit. Kortom de kans dat daar een sportwagen staat is nul. We weten echter zeker dat ergens achter een    gordijn nog een sportwagen staat, dus die totale kans is één (op één).  De som van de kansen van beide nog gesloten gordijnen moet dus ook één zijn. Omdat de kans van gordijn C gelijk is aan 1 op 3, moet de kans van het andere nog gesloten gordijn dus wel 2 op 3 zijn. Wisselen maakt je kans dus twee keer zo groot in dit geval!

De ervaring leert echter dat niet iedereen op basis van het bovenstaande al  ‘om’ is. Een alternatieve manier is om alle varianten uit te schrijven. We hebben drie plekken waar de sportwagen kan staan. We gaan er even van uit dat wij altijd voor gordijn C kiezen, want dat maakt voor het verhaal niet uit maar maakt de telling wat eenvoudiger (als we een ander  gordijn kiezen dan kunnen we gewoon even de labels verhangen zodat het toch weer C heet, dus dat maakt niets uit). Dat geeft de volgende combinaties:

1. Sportwagen achter A, wij kiezen C, Willem kan dan alleen nog B kiezen om open te doen (geit)
2. Sportwagen achter B, wij kiezen C  Willem kan dan alleen nog A kiezen om open te doen (geit)
3. Sportwagen achter C, wij kiezen C, Willem opent of A of B (in beide gevallen staat daar een geit)

Stel nu dat je bij je keuze blijft voor C. Dan gebeurt in deze dezelfde drie gevallen het volgende:

1. Je blijft bij C, de sportwagen stond achter A, dus je wint een geit
2. Je blijft bij C, de sportwagen stond achter B, dus je wint een geit
3. Je blijft  bij C, de sportwagen stond achter C, dus je wint de sportwagen.

Kortom inderdaad een kans van 1 op 3. Maar kijk nu wat er bij diezelfde combinaties gebeurt als je van keuze wisselt:

1. B toont een geit dus je wisselt naar A. De sportwagen staat achter A, je wint de sportwagen!
2. A toont een geit dus je wisselt naar B. De sportwagen staat achter B, je wint de sportwagen!
3. In de geval wissel  je van C naar A of B (het gordijn dat Willem nog niet heeft opengerukt). De sportwagen stond echter achter C dus elke wissel is fout. Je wint een geit.

Door te wisselen heb je nu dus twee van de drie keer de sportwagen te pakken. Alleen als je eerste keuze goed was (en die kans is maar 1 op 3) verlies je, in het andere geval win je altijd. Wie wat visueler ingesteld is kan het onderstaande filmpje nog eens bekijken (in het Engels):

Voor wie het nu nog steeds niet gelooft is er nog maar één mogelijkheid: zelf proberen. Willem Ruis kan je daarbij niet meer helpen, maar op het Internet is een virtuele quizmaster beschikbaar (met helaas ook virtuele sportwagens en geiten). Veel succes!

En wie wil er nu eigenlijk nog een sportwagen winnen?

Zwarte materie: Help! Het heelal is zoek!

Help! Het heelal is zoek! Van 80% van de materie in het heelal hebben we geen idee wat het is. We merken aan de zwaartekracht dat er iets moet zijn, maar te zien is er helemaal niets. Wat is toch die 'donkere materie'?

Terwijl de wetenschappers elkaar nog in de haren zitten over
wat zwarte materie is, lijkt het via internet al te koop te zijn.

Ruim 80% van het heelal bestaat uit onbekende materie. Slecht 20% kunnen we zien en weten we dus wat het is.Trouwens: als we het over 20% hebben, dan doelen we op de eigenschap 'massa'. Die massa toont zich aan ons op twee manieren: ten eerste de mate waarin iets zich verzet als je het probeert op te tillen vanaf de vloer, de 'zware massa'. Ten tweede de mate waarin iets zich verzet tegen het in beweging komen als je er tegen duwt, bijvoorbeeld als het op een gladde ijsvloer ligt, de 'trage massa'. In onze dagelijkse ervaring zijn we er aan gewend dat deze eigenschappen gelijk op gaan maar vanuit de natuurkunde zijn dit heel verschillende eigenschappen en is er op voorhand geen reden waarom 'trage' en 'zware' massa evenredig zijn.


Het waren de twee grootste wetenschappers aller tijde die belangrijke voortuitgang wisten te brengen in het begrip van massa een zwaartekracht: Isaac Newton en Albert Einstein. Newton wist een formule te bedenken die de sterkte van de zwaartekracht tussen twee voorwerpen beschreef: een kracht evenredig met het product van beide ('trage') massa's en afnemend met het kwadraat van hun onderlinge afstand. Met deze formule bleek hij niet alleen in staat om de werking van de zwaartkracht op aarde te beschrijven maar ook de beweging van de planeten rond de zon bleek met deze formule perfect te verklaren te zijn. Zelfs nu nog werken de ESA en de NASA nog met de formule van Newton; niet slecht voor een bijna 400 jaar oude theorie! Uit de vergelijkingen van Newton volgt ook dat op het aardoppervlak de 'zware' massa gelijk opgaat met de 'trage' massa. Er is echter geen onderliggende theorie van de wetten van Newton. Ze kloppen gewoon prima met de metingen. Maar als de metingen op zeker moment anders uitwijzen, kunnen ze ook gewoon fout zijn.

Albert Einstein verfijnde de zwaartekrachttheorie van Newton door ook de tijd hierin te betrekken: ruimte en tijd vormen een vierdimensionale structuur die door de zwaartekracht vervormd wordt. Massa zelf bleek samen te hangen met energie volgens zijn bekende wet E=Mc2. Wanneer het zwaartekrachtveld niet belachelijk sterk is en de onderlinge snelheden veel kleiner zijn dan de snelheid van het licht (en dat is het meestal) dan zijn de vergelijkingen van Einstein te vereenvoudigen naar die van Newton. Voor de bewegingen in ons zonnestelsel heb je Einstein dus niet nodig. Alleen een heel kleine afwijking van de baan van de planeet Mercurius (die het dichts om de zon draait en dus de meeste zwaartekracht van de zon ervaart) kan met de wetten van Newton niet maar met de van Einstein wel worden verklaard.

Een deel van de Coma Cluster: deze sterrenstelsels bewegen
ten opzichte van elkaar te snel om bij elkaar te blijven. Is er
zwaartekracht van 'dunkele Materie' in het spel?

Tot zover was alles pais en vree met de zwaartekracht in het heelal. Tot in 1932 onze landgenoot Jan Oort een eerste scheurtje ontdekte: sterren aan de buitenkant van ons eigen spiraalstelsel, de melkweg, bleken veel sneller te bewegen dan verwacht. De berekende zwaartekracht van alle zichtbare sterren, gas en stof in de melkweg was niet sterk genoeg om die sterren in hun baan te houden, je zou verwachten dat die sterren al lang uit de bocht gevlogen en verdwenen in de diepte van het heelal verdwenen waren. Maar toch waren ze er.


Nog geen jaar later zag de zwitserse sterrenkundige Frits Zwicky iets derglijks in de onderlinge bewegingen van sterrenstelsen in een grote groep van de dergelijke stelsels: de Coma Cluster. Ook hier bewogen de de sterrenstelsels onderling zo snel dat de berekende zwaartekracht niet in staat zou moeten zijn om de voorkomen dat ze uit elkaar zouden vliegen. Maar die Coma Cluster bestaat uit wel duizend sterrenstelsel en is dus veel te groot om een toevallige passage van een aantal sterrenstelsels te zijn. Er was dus iets vreemd aan de hand. Frits Zwicky postuleerde dat er nog materie aanwezig moest zijn die we niet konden waarnemen en bedacht ook de term: 'dunkele Materie'.

Zwaartekrachtlens: de zware cluster van sterrenstelsels
vertekent het beeld van veel verder gelegen stelsels en
smeert ze uit tot cirkelbogen. Ook hier is de mate van
vertekening veel groter dan op grond van de zichtbare
sterrenstelsels te verwachten was.

In de jaren 70 ontdekte Vera Rubin dat ook bij andere melkwegstelsel de sterren aan de buitenrand veel sneller bewegen dan verwacht. En de mate waarin de zwaartekracht van grote sterrenstelsel achtergrondlicht afbuigt (zwaartekrachtlens) bleek veel groter te zijn dan verwacht kon worden op grond van het aantal sterren in het stelsel.

Kortom: op de schaal van melkwegstelsels en groter lijken de zwaartekrachtswetten van Newton en Einstein, uitgaande van de materie die we kunnen zien, niet het juiste resultaat op te leveren maar er zelfs een factor 5 tot 10 onder te zitten!


 Er kunnen dan twee zaken aan de hand zijn: ofwel we snappen de werking van de zwaartekracht niet goed. Misschien neemt deze op grote afstand minder snel af dan met het kwadraat van de afstand zoals we dat in ons 'kleine' (op deze schaal dan) planetenstelsel zien. Ofwel er is nog een andere bron van massa in de melkweg aanwezig die we niet kunnen zien. Deze noemen we dan 'zwarte materie'. Maar eigenlijk zouden we het beter 'volledig transparante materie' kunnen noemen. Zwarte dingen kunnen immers licht absorberen, maar dat doet onze raadselachtige materie ook al niet.

Wetenschappers bij een WIMP detector in een zeer diepe
 kaliummijn in Boulby, Engeland.

Maar waar bestaat die 'zwarte materie' dan uit? De eerste theorie was dat er nog donkere objecten zoals losgeslagen planeten door de melkweg zouden kunne zweven. Deze werden aangeduid met de afkorting MACHO, die staat voor Massive Compact Halo Object. Maar onzichtbare zwarte gaten, uitgedoofde sterren of verdwaalde planeten zijn wel aanwezig, maar lang niet genoeg om 80% van de materie te verklaren. Een nieuwere en populaire theorie is de WIMP, wat staat voor 'Weakly Interacting Massive Particle' ofwel een zwaar deeltje met nauwelijks interactie met andere deeltjes. Een dergelijk deeltje zou enerzijds vergelijkbaar kunnen zijn met het neutrino die terwijl je dit leest met miljarden per seconden door je lijf vliegen en overigens net zo makkelijk door de hele aarde heen. Neutrino's zijn er dus erg veel maar ze hebben nauwelijks massa. Een soortgelijk deeltje dat zeldzamer maar veel zwaarder zou zijn zou nauwelijks aan te tonen zijn maar kan wel de waargenomen effecten van 'donkere materie' verklaren. Op dit moment lopen er meerdere experimenten waarbij men diep onder de aarde (afgeschermd voor kosmische straling) probeert een toch een interactie met zo'n WIMP waar te nemen. Tot nu toe trouwens zonder veel succes. Anderen proberen met deeltjesversnellers zelf een WIMP te maken. Ook nog zonder succes...

Maar er is dus nog een andere weg. Misschien klopt onze zwaartekrachtwet wel gewoon niet. Dan is er helemaal geen zwarte materie nodig om alles te verklaren. Een populaire theorie is de MOND (Modified Newtonian Dynamics) die de werking van de zwaartekracht zo bijstelt dat deze enerzijds op de schaal van het planetenstelsel het bekende resultaat oplevert maar op de schaal van sterrenstelsels wel de snelle sterren aan de buitenrand in hun baan kan houden.

De Bullet Cluster is onstaan uit een botsing van twee clusters
sterrenstelsels. De donkere materie (blauw gekleurd) lijkt
zich daarbij gesplitst te hebben. Dit pleit in het voordeel van
de WIMP en tegen de MOND theorie.

Wie heeft het juist, de WIMP of de MOND aanhangers? Op dit moment heeft WIMP duidelijk de meeste stemmers. Ook is een mogelijke test is gevonden in een botsing tussen twee clusters van sterrenstelsels: de Bullet Cluster. Door de vertekening van zwaartekrachtlensen bij deze cluster te meten kan een reconstructie van het zwaartkrachtveld rond deze cluster gemaakt worden (zie in het plaatje hiernaast de blauwe 'overlay'). Deze lijkt te zijn gesplitst in twee delen. Dat kan verklaart worden uit het 'doorschieten' van donkere materie na de botsing maar niet zo makkelijk met de MOND theorie. Zou de WIMP dan toch bestaan?

Maar net zoals de eerste scheur door onze landgenoot Jan Oort werd ontdekt, is nu de laatste ontwikkeling er ook eentje uit Nederland: Erik Verlinde heeft in 2009 een nieuw idee over de zwaartekracht ingebracht, waarbij de zwaartekracht geen fundamentele natuurkracht is maar een kwantummechanisch effect dat te maken heeft met verschillen in informatiedichtheid in de ruimte. Dit is misschien wel de meeste serieuze aanval ooit op de theorie van Einstein. Of deze theorie voet aan de grond gaat krijgen en wat het effect dan is op de mogelijke verklaring van 'donkere materie'? Wie weet, we wachten in spanning af.....