En Pierre, wat hebben zij gewonnen.....

En Pierre, wat hebben zij gewonnen…? Op het door felle studiolampen verlichte podium trekt de assistente van Willem Ruis het gordijn opzij. Erachter staat een fonkelnieuwe sportwagen te blinken. Helemaal voor jou! Het studiopubliek joelt en klapt. Willem opent het portier en nodigt je uit om plaats te nemen op de chauffeursstoel….



De Amerikaanse variant van dezelfde eindronde in de Monty Hall Show



Het was een ogenschijnlijk simpel spelletje, de eindronde. Drie gesloten gordijnen, A, B en C. Achter twee ervan een lullig troostprijsje, maar achter één gordijn gaat de nieuwe sportwagen schuil. Je mag één gordijn aanwijzen. Eén kans, voor drie gordijnen. Een kans van slechts één op drie om de nieuwe sportwagen te winnen. Of toch niet?

Je wijst gordijn C aan. Willem vraagt of je het zeker weet. Je knikt. Willem steekt voorzichtig zijn hoofd door de drie gordijnen om te zien wat er achter zit. Dan trekt hij ineens gordijn B open. Erachter staat een geit, die verbaasd het publiek in kijkt. Dan vraagt Willem wat je gaat doen: blijf je bij je keuze voor gordijn C, of wissel je toch maar liever naar het andere nog dichte gordijn: A.



Willem Ruis



Dit ogenschijnlijk vrij simpele probleem is één van de meest contra-intuitieve problemen in de wiskunde. Internationaal staat het bekend als het ‘Monty Hall problem’, in Nederland hebben we de Amerikaanse quizmaster Monty Hall vervangen door ons eigen icoon en kennen we het als het Willem Ruis driedeurenprobleem. In de wiskundige variant is het spelletje een beetje geformaliseerd: de quizmaster weet vooraf achter welk gordijn de sportwagen schuilgaat. Na jouw eerste keuze trekt hij altijd één gordijn open. Dat zal nooit het gordijn zijn wat jij zelf hebt aangewezen en het zal nooit het gordijn zijn waarachter de sportwagen staat maar altijd een geit. 

 Het probleem is simpelweg: maak je dan  meer kans op de sportwagen als je bij onze keuze blijft, of maak je meer kans als je toch nog wisselt van keuze? Of maakt het niet uit?

Dit probleem is (voor een wiskundige, althans) niet heel ingewikkeld, maar het antwoord is waarschijnlijk niet wat je verwacht. Het heeft in de loop van zijn gechiedenis heel wat mensen op het verkeerde been gezet, waaronder zelfs beroemde wiskundigen! Ook Monty Hall zelf schijnt het probleem trouwens nooit echt begrepen te hebben. En Willen Ruis kunnen we het helaas niet meer navragen....

Er zijn ruwweg drie manieren om het probleem aan te pakken. De eerste is op basis van kansrekening en heel kort, maar niet iedereen wil zich hierdoor laten overtuigen. De tweede manier is door simpelweg alle mogelijkheden uit te schrijven en te tellen.  Voor wie het dan nog niet gelooft is het ook nog mogelijk om het gewoon te proberen.



Te vaak van keuze gewisseld: sportgeit!



Laten we eens beginnen met de kortste uitleg op basis van kansrekening: als we in eerste instantie kiezen voor gordijn C, dan is er een kans van 1 op 3 dat we goed zitten. Als Willem Ruijs daarna  een ander gordijn opentrekt verandert daar helemaal niets aan. Kortom als we bij onze keuze blijven is de kans op een sportwagen nog steeds 1 op 3. Eén gordijn is open, en daar staat zeker een geit. Kortom de kans dat daar een sportwagen staat is nul. We weten echter zeker dat ergens achter een    gordijn nog een sportwagen staat, dus die totale kans is één (op één).  De som van de kansen van beide nog gesloten gordijnen moet dus ook één zijn. Omdat de kans van gordijn C gelijk is aan 1 op 3, moet de kans van het andere nog gesloten gordijn dus wel 2 op 3 zijn. Wisselen maakt je kans dus twee keer zo groot in dit geval!

De ervaring leert echter dat niet iedereen op basis van het bovenstaande al  ‘om’ is. Een alternatieve manier is om alle varianten uit te schrijven. We hebben drie plekken waar de sportwagen kan staan. We gaan er even van uit dat wij altijd voor gordijn C kiezen, want dat maakt voor het verhaal niet uit maar maakt de telling wat eenvoudiger (als we een ander  gordijn kiezen dan kunnen we gewoon even de labels verhangen zodat het toch weer C heet, dus dat maakt niets uit). Dat geeft de volgende combinaties:

1. Sportwagen achter A, wij kiezen C, Willem kan dan alleen nog B kiezen om open te doen (geit)
2. Sportwagen achter B, wij kiezen C  Willem kan dan alleen nog A kiezen om open te doen (geit)
3. Sportwagen achter C, wij kiezen C, Willem opent of A of B (in beide gevallen staat daar een geit)

Stel nu dat je bij je keuze blijft voor C. Dan gebeurt in deze dezelfde drie gevallen het volgende:

1. Je blijft bij C, de sportwagen stond achter A, dus je wint een geit
2. Je blijft bij C, de sportwagen stond achter B, dus je wint een geit
3. Je blijft  bij C, de sportwagen stond achter C, dus je wint de sportwagen.

Kortom inderdaad een kans van 1 op 3. Maar kijk nu wat er bij diezelfde combinaties gebeurt als je van keuze wisselt:

1. B toont een geit dus je wisselt naar A. De sportwagen staat achter A, je wint de sportwagen!
2. A toont een geit dus je wisselt naar B. De sportwagen staat achter B, je wint de sportwagen!
3. In de geval wissel  je van C naar A of B (het gordijn dat Willem nog niet heeft opengerukt). De sportwagen stond echter achter C dus elke wissel is fout. Je wint een geit.

Door te wisselen heb je nu dus twee van de drie keer de sportwagen te pakken. Alleen als je eerste keuze goed was (en die kans is maar 1 op 3) verlies je, in het andere geval win je altijd. Wie wat visueler ingesteld is kan het onderstaande filmpje nog eens bekijken (in het Engels):

Voor wie het nu nog steeds niet gelooft is er nog maar één mogelijkheid: zelf proberen. Willem Ruis kan je daarbij niet meer helpen, maar op het Internet is een virtuele quizmaster beschikbaar (met helaas ook virtuele sportwagens en geiten). Veel succes!

En wie wil er nu eigenlijk nog een sportwagen winnen?