Zwarte gaten: de afvoerputjes van het heelal

Al vrij lang geleden was ik ongeveer 7 jaar oud en had ik een oranje plastic voetbal. Ik had ook eens stel ooms die deze bal een ontzettende schop omhoog konden geven. Je zag de bal steeds kleiner worden, totdat het (in elk geval in mijn herinnering) nog maar een stipje in de lucht was. Eindeloos veel later werd het stipje langzaam weer groter en kwam de bal met een flinke klap weer terug op aarde, waar die nog een paar keer stuiterde voordat we hem weer konden pakken. En het nog een keer herhalen, als mijn oom daar zin in had. Zou het kunnen, vroeg ik me toen al af, dat mijn oom hem zo hard zou schoppen dat de bal nooit meer terug zou komen?



Jules Verne dacht nog dat astronauten met een
kanonskogel afgeschoten zouden kunnen worden

Inmiddels ben ik een heel stuk ouder en een heel klein beetje wijzer geworden. Ik heb geleerd dat het theoretisch mogelijk, maar wel op zijn minst twijfelachtig is dat mijn oom dat voor elkaar had gekregen. Mijn oom had de bal namelijk een trap van minimaal 11,2 kilometer per seconde moeten geven om deze genoeg snelheid te geven om helemaal aan de aantrekkingskracht van de aarde te kunnen ontsnappen. Nog afgezien van de trapkracht van mijn oom was de bal dan trouwens direct ontploft, was het niet door de trap dan wel door de enorme warmte van de luchtwrijving bij meer dan 30 keer de snelheid van het geluid. Dat is ook één van de redenen dat de NASA raketten gebruikt om dingen naar andere planeten te sturen en geen kanon, zoals Jules Verne dat ooit opperde.

Die 11,2 km/s heet in de sterrenkunde de 'ontsnappingssnelheid' maar die waarde geldt alleen voor de aarde: elke planeet of ander hemellichaam heeft zijn eigen ontsnappingssnelheid. Zo heeft de Maan een ontsnappingssnelheid van 'slechts' 2,38 km/s en heb je bij de Zon ongeveer 600 km/s nodig. Die ontsnappingssnelheid is logischerwijs groter als het hemellichaam zwaarder is maar ook groter als het een kleinere afmeting heeft: bij dezelfde massa is de zwaartekracht aan het oppervlak namelijk groter als het hemellichaam klein en compact is.

Al honderden jaren geleden vroeg men zich af of er misschien dusdanig zware sterren zouden bestaan dat de ontsnappingssnelheid groter wordt dan de snelheid van het licht. En wat er dan zou gebeuren. Zouden de lichtstralen van die ster dan ook weer terugvallen op het eigen oppervlak en zou die ster dan voor waarnemers onzichtbaar kunnen worden? Om daar iets zinnigs over te zeggen moet je weten hoe licht reageert op zwaartekracht. Die interactie werd pas voorspeld in 1915, toen Albert Einstein zijn Algemene Relativiteitstheorie publiceerde.



Karl Schwarzschild ontdekte in 1915 de theoretische
mogelijkheid van een zwart gat. Dat deed hij in het
Duitse leger aan het Russische front in WWI.
Een jaar later overleed hij aan een daar opgelopen ziekte

De relativiteitstheorie heeft als belangrijkste element dat ruimte, tijd en massa niet los van elkaar gezien kunnen worden (wat tot dat moment wel gebruikelijk was in de natuurkunde). Ruimte en tijd zijn zo innig verbonden dat ze gedeeltelijk in elkaar omgezet kunnen worden. De vier-dimensionale 'ruimtetijd' die zo ontstaat wordt bovendien een beetje vervormd door massa. Door die vervorming wijken objecten in de buurt van een zwaar object iets af van hun rechte lijn door de ruimtetijd. Die gekromde beweging ervaren we dan als een kracht: de zwaartekracht. Zolang die zwaartekracht een 'normale' waarde heeft gedragen de natuurwetten zoals we die in het alledaagse leven gewend zijn. Maar wanneer je met de relativiteitstheorie naar een extreem compact (zwaar maar klein) object kijkt blijkt de vervorming van ruimtetijd zo extreem te kunnen worden dat die bekende wetten niet meer opgaan: de vervorming dicht bij dat object wordt zo sterk dat de baan van een lichtdeeltje dat naar buiten (van het object af) probeert te bewegen feitelijk toch naar binnen beweegt. En omdat niets sneller kan bewegen dan de snelheid van het licht betekent dit dat feitelijk niets meer naar buiten kan bewegen: alle licht en materie die te dicht bij zo'n extreem compact object komt verdwijnt als het ware in een gat. Omdat er ook geen straling uit kan komen is het perfect zwart: een zwart gat.

De krabnevel is het restant van een supernova explosie in het
jaar 1054. In dit geval was de overgbleven sterkern niet zwaar
genoeg: in het midden bevindt zich nu een neutronenster (pulsar).

In eerste instantie zagen natuurkundigen dit als een theoretische curiositeit en niet als iets dat misschien ook daadwerkelijk in het heelal voor zou kunnen komen. Totdat in de jaren zestig duidelijk werd dat sterren die door hun brandstof voor kernfusie heen waren in kunnen storten tot een heel klein compact object of zelfs tot een puntmassa zonder een feitelijke afmeting. Dit zit zo: zolang er in het centrum van een ster kernfusie plaatsvindt kan de hitte en druk die dit opwekt de enorme druk van de zwaartekracht van de bovengelegen gaslagen weerstaan. Zodra de brandstof op is valt die druk weg en begint de ster met een enorme snelheid in te storten. Wanneer de ster niet al te zwaar en groot is kunnen quantumeffecten tussen elektronen verdere instorting voorkomen: er vormt zich een zogenaamde witte dwergster. Als de instortende ster zwaarder is dan ongeveer anderhalve keer de massa van de zon dan houden de elektronen het ook niet meer en stort de kern van de ster tijdens een supernova explosie nog verder in tot een bol van maar een tiental kilometer, waarbij een soortgelijk quantumeffect van de neutronen in atoomkernen de instorting nog kunnen stoppen (neutronenster). Maar als de instortende ster zwaarder is dan ongeveer 3 keer de massa van onze zon dan kan geen enkele bekende kracht de instorting nog tegenhouden: de ster stort in tot misschien wel een mathematische punt. En een zwart gat is gevormd!



'Artist impression' van Cygnus X-1, één van de helderste bronnen
van röntgenstraling aan de hemel. Gas stroomt van een blauwe
reuzenster naar een onzichtbare begeleider: een zwart gat met
een superhete accretieschijf: de bron van de röntgenstraling.

Maar stel nu dat zo'n zwart gaat echt bestaat, hoe kan je hem dan ooit zien? Inderdaad komt er geen licht uit het zwarte gat, maar dat wil niet zeggen dat hij geen sporen achterlaat: zijn zwaartekracht kan hem verraden! Dat kan op verschillende manieren: gaswolken die in de buurt van een zwart gat komen worden langzaam opgeslokt. Voor dat het gas in het zwarte gat verdwijnt wordt het opeen geperst in een platte schijf die super heet kan worden en daarbij röntgenstraling gaat uitzenden (een zogenaamde accretieschijf)




Computersimulatie toont hoe een vertekend beeld van
 de achtergrond ontstaat doordat licht wordt afgebogen
 nabij het zwarte gat. In het midden is al het licht uit
 de achtergrond verdwenen in het zwarte gat. Dit wordt
 'de schaduw' genoemd.

 

Ook sterren kunnen een zwart gat verraden: sterren die om een zwart gat draaien gaan zo snel rond dat wel duidelijk is dat daar iets enorm zwaars moet staan, terwijl er niets zichtbaar is. In bepaalde gevallen kan dat eigenlijk alleen verklaard worden door de aanwezigheid van een zwart gat. En zelfs licht dat vlak langs het zwarte gat beweegt wordt afgebogen, waardoor we objecten die achter een zwart gat staan vertekend zouden kunnen zien worden.




In het sterrenstelsel Virgo A met een actieve super
 massief zwart gat in het centrum: het verraadt
zich door een 'jet' waar gas met bijna de lichtsnelheid
 wordt weggeschoten

 

Zwarte gaten die ontstaan bij het instorten van een ster zouden eigenlijk niet veel zwaarder moeten kunnen zijn dan misschien 10 keer de massa van zon. Toch zijn er inmiddels nog veel zwaardere zwarte gaten ontdekt. In het centrum van ons eigen melkwegstelsel gaat een zwart gat schuil dat maar liefst 4 miljoen keer zo zwaar is als de zon. Het lijk er zelfs op dat in het midden van elk megwegstelsel een dergelijk super massief zwarte gat schuil gaat. Hoe en wanneer deze onstaan zijn is nog niet duidelijk: misschien zijn ze ontstaan door het samenklonteren van zwarte gaten die ontstaan zijn bij het instorten van de eerste generatie sterren in het heelal, misschien zijn ze zelfs al direct bij de oerknal gevormd. Zolang er geen materie in zo'n super massief zwart gat valt zijn ze vrijwel onzichtbaar maar als er veel gas of sterren in vallen kunnen ze enorm helder en verwoestend worden. De afgelopen jaren hebben Europese sterrenkundigen de sterren in het hart van ons melkwegstel 16 jaar lang nauwkeurig gevolgd met één van de meest geavanceerde telescopen op aarde: de Very Large Telescope (VLT) in Chili. Het filmpje wat ze er van gemaakt hebben is tot op heden het mooiste exemplaar van een zwart gat dat zijn afwezigheid verraad door de beweging van de sterren in de buurt:  we zien sterren afbuigen rond iets wat heel zwaar moet zijn maar wat volledig onzichtbaar is!



Volgende keer nog meer over zwarte gaten: wat gebeurt er als je er in valt?

Astronomische getallen en nog veel erger

Dat wensen over geld en weelde (en dan met name in combinatie met grote hoeveelheden) verleidelijk doch gevaarlijk zijn is algemeen bekend. Denk maar aan het verhaal over koning Midas die zo dom was om te wensen dat alles wat hij aanraakte in goud zou veranderen en toen bijna van de honger en dorst het loodje legde. Toch waren er enkele lezers die de moed hadden om in de vorige blog te wensen dat zij Grahamnair zouden worden. Het blogje van deze week zal daarom twee dingen proberen te doorgronden: 1) wat een Grahamnair nu in hemelsnaam is en 2) waarom je dat absoluut niet moet willen zijn.
Wat de eerste vraag betreft: noch via Google (waarover later meer, het heeft een bijzondere en onverwachte relatie met dit onderwerp) noch via het woordenboek zal je erachter komen wat een Grahamnair is. Het meest waarschijnlijke is dat de lezer in kwestie doelde op iemand die een fortuin op de bank heeft staat ter grootte van het getal van Graham. Zoals je nu geraden hebt is het getal van Graham een groot getal. In feite is het één van de grootste getallen die in de wiskunde benoemd is en zelfs gebruikt is in het één of andere bewijs (wil je weten welke en heb je geen problemen met raadsels over tweekleurige multidimensionale hyperkubussen, zoek het dan even na op Wikipedia). Hoe groot het nu eigenlijk is en wat de implicaties zijn voor de aankomende Grahamnair, zullen we dadelijk uitpluizen.

Turven

Allereerst even een kort uitstapje naar hoe we getallen opschrijven. De meest primitieve manier om een getal te noteren is: turven. Als je een bestelling wilt opnemen dan voldoet deze techniek prima, maar zou je op die manier bijvoorbeeld de omtrek van de aarde in meters willen noteren dan kost je dat ruwweg net zoveel tijd als hem rond te wandelen: het zijn net zoveel streepjes als wandelstappen! Bovendien zou je erg veel papier nodig hebben. Toch gebruikten de Romeinen nog een opgekrikte versie van dit turfsysteen en wisten ze daarmee ook nog half Europa te veroveren (ja, behalve dat kleine dorpje in een uithoek van Gallie natuurlijk). In de wetenschap hebben ze echter nauwelijks iets gepresteerd en dat kan heel goed met hun talstelsel te maken hebben gehad.



Babylonische rekentablet

Dat is nog erger als je weet dat de Babylonieers al duizenden jaren eerder een veel beter systeem hadden bedacht: Ze hadden een notatiesysteem dat van 1 tot 59 liep. Maar de crux zit hier: in plaats van voor het getal 60 een heel nieuw symbool te bedenken (wat de Roemeinen hadden gedaan) noteerden ze daar gewoon weer het bekende cijfer 1, maar dan een stukje verder naar links. Nu gaf dat soms wel wat verwarring, want een losse 1 kon op die manier allerlei verschillende betekenissen hebben: gewoon 1 maar ook 60 of zelf 3600 (60x60) of als breuk ook 1/60. Gelukkig bedacht men later in India nog de nul en de komma. Ook stapte men daar terug van zestig verschillende basiscijfers naar slechts tien. Via de Arabieren hebben wij dit systeem uit India ook overgenomen.
Het 'positionele talstelsel' zoals dat dan officieel heet, is enorm krachtig: ik kan nu bijvoorbeeld de omtrek van de aarde in meters met slechts zeven symbolen uitschrijven: 40075160. Voor een afmeting die nog eens tien keer zo groot is, heb ik steeds maar 1 tekens extra nodig. Op die manier komt het hele universum zelfs binnen bereik: voor de werkelijk gigantische afmeting van het hele zichtbare heelal in meters heb ik toch maar slechts 26 cijfers nodig. En hoever zou je eigenlijk willen kunnen tellen? Het allergrootste getal dat je met het tellen van echte fysieke objecten zou kunnen bereiken is het totaal aantal elementaire deeltje (quarks, elektronen maar vooral neutrinos en fotonen) in het hele zichtbare heelal. Dat is een echt gigantische hoeveelheid maar waarschijnlijk toch wel met minder dan 90 cijfers uit te schrijven: dat past met wat goede wil nog zo'n beetje in één regel tekst. Een één met 90 nullen heeft zelfs nog een naam: een quindecillion.

Stel nou eens dat je geen miljonair en zelfs geen miljardair maar quindecillionair zou zijn! Voor je boekhouder zou dat geen onoverkomelijk probleem zijn: hij moet wel met 91 cijfers voor de komma rekenen (en twee cijfers erachter, het blijft tenslotte wel een boekhouder...) maar een extra breed kasboek kan je met zo'n kapitaal op de bank wel vanaf. Een veel lastiger probleem is wat je met al dat geld moet doen: je beschikt misschien wel over zo'n tien tot  honderd Euro of Dollars voor elk elementair deeltje in het universum. Er is dus domweg niet genoeg te koop of je moet er geen probleem in zien om een bedrag van zo'n 25 nullen neer te leggen voor een druppel water. Al dat geen inflatie is...

Maar: een quindecillionair is nog lang geen Grahamnair! Met fysiek tellen kom je misschien niet hoger, maar wiskundig kan je er altijd nog eentje bij op tellen, of in dit geval ook: er nog een extra nulletje achter plaatsen. Met tien extra nullen achter een quindecillion heb je ineens een getal met maar liefst 100 nullen. In 1934 vroeg de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner aan zijn (toen) 9-jarige neefje of-ie geen mooie naam wist voor zo'n groot getal. Die kan dat wel verzinnen: Googol. Naar deze prachtige naam voor een getal met 100 nullen is dus die bekende internet firma genoemd, die daarbij helaas wel een spelfout heeft gemaakt. Ze kunnen blijkbaar beter rekenen dan spellen aldaar.

Kan het nog gekker? Tuurlijk...! in de vorige blog kon je lezen dat het grootste priemgetal dat tot dusver is gevonden bestaat uit 12978189 cijfers. Daarbij valt zelfs het getal googol dus volledig in het niet: het is immers 12978088 cijfers langer dan googol! Bovendien beginnen we hier langzamerhand tegen de limieten van ons talstelsel aan te lopen: de internetpagina waar de volledig uitgeschreven weergave van dit priemgetal te vinden is beslaat al zo'n 16MB. Met een dergelijk bedrag op de bank komt je boekhouder er niet meer uit met pen en papier! Alleen met moderne computers zijn dergelijke getallen nog net te manipuleren. En daarmee is dat priemgetal natuurlijk ook ontdekt.
Een priemgtal van bijna dertien miljoen cijfers is al belachelijk groot, maar je kunt natuurlijk ook nog bedenken dat er ook een getal zou kunnen zijn van een miljard cijfers lang. Of van een biljoen cijfers lang. Of nog beter: van googol cijfers lang. Die laatste heeft weer zowaar een naam: het googolplex.

Met een slordige googolplex op je bankrekening krijgt je boekhouder een serieus probleem: niet alleen de waarde van het bedrag maar ook het aantal cijfers is nu groter dan het aantal elementaire deeltjes in het heelal beschikbaar zijn. Je zou ongeveer 10 miljard cijfers moeten kunnen bijhouden per elke quark, electron, neutrino of foton. En dat is volstrekt onmogelijk. En dan hebben we het nog niet eens over die twee cijfers achter de komma! Plus als je alles in het universum al nodig hebt om je saldo op bij te houden, blijft er helemaal niets meer over om aan te schaffen...

En dan die Graham. Was googolplex als getal al niet te bevatten: het getal van Graham is nog waanzinnig veel groter dan een één met googolplex nullen. Waar bij googolplex het aantal deeltjes in het heelal een probleem werd om het te noteren, is bij het getal van Graham zelfs de beschikbare hoeveel ruimte in het universum niet genoeg om het als getal uit te schrijven. Zelfs al maken we elk cijfer kleiner dan de kern van een atoom en gebruiken we de het complete driedimensionale universum, dan nog gaat het niet passen. Merkwaardig genoeg is het een aantal wiskundigen nog wel gelukt om de laatste 500 cijfers uit te rekenen. Voor de liefhebbers:

...02425950695064738395657479136519351798334535362521
   43003540126026771622672160419810652263169355188780
   38814483140652526168785095552646051071172000997092
   91249544378887496062882911725063001303622934916080
   25459461494578871427832350829242102091825896753560
   43086993801689249889268099510169055919951195027887
   17830837018340236474548882222161573228010132974509
   27344594504343300901096928025352751833289884461508
   94042482650181938515625357963996189939679054966380
   03222348723967018485186439059104575627262464195387

Moraal van het verhaal: wordt nooit boekhouder, en al zeker niet die van een Grahamnair...