Wat de eerste vraag betreft: noch via Google (waarover later meer, het heeft een bijzondere en onverwachte relatie met dit onderwerp) noch via het woordenboek zal je erachter komen wat een Grahamnair is. Het meest waarschijnlijke is dat de lezer in kwestie doelde op iemand die een fortuin op de bank heeft staat ter grootte van het getal van Graham. Zoals je nu geraden hebt is het getal van Graham een groot getal. In feite is het één van de grootste getallen die in de wiskunde benoemd is en zelfs gebruikt is in het één of andere bewijs (wil je weten welke en heb je geen problemen met raadsels over tweekleurige multidimensionale hyperkubussen, zoek het dan even na op Wikipedia). Hoe groot het nu eigenlijk is en wat de implicaties zijn voor de aankomende Grahamnair, zullen we dadelijk uitpluizen.
 |
| Turven |
Allereerst even een kort uitstapje naar hoe we getallen opschrijven. De meest primitieve manier om een getal te noteren is: turven. Als je een bestelling wilt opnemen dan voldoet deze techniek prima, maar zou je op die manier bijvoorbeeld de omtrek van de aarde in meters willen noteren dan kost je dat ruwweg net zoveel tijd als hem rond te wandelen: het zijn net zoveel streepjes als wandelstappen! Bovendien zou je erg veel papier nodig hebben. Toch gebruikten de Romeinen nog een opgekrikte versie van dit turfsysteen en wisten ze daarmee ook nog half Europa te veroveren (ja, behalve dat kleine dorpje in een uithoek van Gallie natuurlijk). In de wetenschap hebben ze echter nauwelijks iets gepresteerd en dat kan heel goed met hun talstelsel te maken hebben gehad.
 |
| Babylonische rekentablet |
Het 'positionele talstelsel' zoals dat dan officieel heet, is enorm krachtig: ik kan nu bijvoorbeeld de omtrek van de aarde in meters met slechts zeven symbolen uitschrijven: 40075160. Voor een afmeting die nog eens tien keer zo groot is, heb ik steeds maar 1 tekens extra nodig. Op die manier komt het hele universum zelfs binnen bereik: voor de werkelijk gigantische afmeting van het hele zichtbare heelal in meters heb ik toch maar slechts 26 cijfers nodig. En hoever zou je eigenlijk willen kunnen tellen? Het allergrootste getal dat je met het tellen van echte fysieke objecten zou kunnen bereiken is het totaal aantal elementaire deeltje (quarks, elektronen maar vooral neutrinos en fotonen) in het hele zichtbare heelal. Dat is een echt gigantische hoeveelheid maar waarschijnlijk toch wel met minder dan 90 cijfers uit te schrijven: dat past met wat goede wil nog zo'n beetje in één regel tekst. Een één met 90 nullen heeft zelfs nog een naam: een quindecillion.
Stel nou eens dat je geen miljonair en zelfs geen miljardair maar quindecillionair zou zijn! Voor je boekhouder zou dat geen onoverkomelijk probleem zijn: hij moet wel met 91 cijfers voor de komma rekenen (en twee cijfers erachter, het blijft tenslotte wel een boekhouder...) maar een extra breed kasboek kan je met zo'n kapitaal op de bank wel vanaf. Een veel lastiger probleem is wat je met al dat geld moet doen: je beschikt misschien wel over zo'n tien tot honderd Euro of Dollars voor elk elementair deeltje in het universum. Er is dus domweg niet genoeg te koop of je moet er geen probleem in zien om een bedrag van zo'n 25 nullen neer te leggen voor een druppel water. Al dat geen inflatie is...
Maar: een quindecillionair is nog lang geen Grahamnair! Met fysiek tellen kom je misschien niet hoger, maar wiskundig kan je er altijd nog eentje bij op tellen, of in dit geval ook: er nog een extra nulletje achter plaatsen. Met tien extra nullen achter een quindecillion heb je ineens een getal met maar liefst 100 nullen. In 1934 vroeg de Amerikaanse wiskundige Edward Kasner aan zijn (toen) 9-jarige neefje of-ie geen mooie naam wist voor zo'n groot getal. Die kan dat wel verzinnen: Googol. Naar deze prachtige naam voor een getal met 100 nullen is dus die bekende internet firma genoemd, die daarbij helaas wel een spelfout heeft gemaakt. Ze kunnen blijkbaar beter rekenen dan spellen aldaar.
Een priemgtal van bijna dertien miljoen cijfers is al belachelijk groot, maar je kunt natuurlijk ook nog bedenken dat er ook een getal zou kunnen zijn van een miljard cijfers lang. Of van een biljoen cijfers lang. Of nog beter: van googol cijfers lang. Die laatste heeft weer zowaar een naam: het googolplex.
En dan die Graham. Was googolplex als getal al niet te bevatten: het getal van Graham is nog waanzinnig veel groter dan een één met googolplex nullen. Waar bij googolplex het aantal deeltjes in het heelal een probleem werd om het te noteren, is bij het getal van Graham zelfs de beschikbare hoeveel ruimte in het universum niet genoeg om het als getal uit te schrijven. Zelfs al maken we elk cijfer kleiner dan de kern van een atoom en gebruiken we de het complete driedimensionale universum, dan nog gaat het niet passen. Merkwaardig genoeg is het een aantal wiskundigen nog wel gelukt om de laatste 500 cijfers uit te rekenen. Voor de liefhebbers:
...02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387
Moraal van het verhaal: wordt nooit boekhouder, en al zeker niet die van een Grahamnair...
Geen opmerkingen:
Een reactie posten