Etre et Avoir en de Priemgetallen

Deze keer geen verhaaltje over cosmologie en sterrenkunde, maar over priemgetallen... En wiskunde zoals je dat nooit op school krijgt en die (hoop ik) ook voor niet-beta's te volgen is. En hiervoor gaan we naar de film!
Een paar jaar geleden was de film 'Etre et Avoir' razend populair in de filmhuizen (zie de trailer hieronder ter kenismaking dan wel ter opfrissing). Het is een mooie langzame documentaire over een idyllisch lagere schooltje op het Franse platteland met een idyllische leraar en idyllische leerlingen.





De school heeft maar één klasje waarin alle leerlingen zitten, de jongste 6, de oudste 12. Op en dag gaan de oudste leerlingen naar een kennismakingsdag van de middelbare school waar ze volgend jaar naar toe zullen gaan. Maar ja, de leraar kan de andere leerlingen natuurlijk niet alleen laten, dus het hele schooltje - jong en oud - gaat mee. Terwijl de oudere leerlingen bezig worden gehouden, zit de leraar met de kleintjes ergens te wachten. Dan onstaat (ongeveer) het volgende gesprek tussen de leraar en het ongeveer 7-jarige jongetje JoJo:

De leraar en JoJo

Leraar: "JoJo, wat is het grootste getal eigenlijk, dat je kent?"
JoJo denk even na en zegt dan "100."
Leraar: "Is 100 echt het grootste getal?"
JoJo knikt langzaam.
Leraar: "En 101 dan?"
JoJo denk na. "O ja. Dan is 101 het hoogste getal."
Leraar: "Maar 102 dan en 103 en 104?"
JoJo: "1000!"
Leraar: "Is 1000 dan het grootste getal."
JoJo knikt en kijkt uit het raam.
Leraar: "Maar 1001 dan, en 1002?"
Ergens hier raakt JoJo afgeleid door iets veel belangrijkers, zoals een konijn in een hok aan de overkant van de straat, en wordt deze dialoog helaas definitief afgebroken...

Nu kan je dat JoJo eigenlijk ook niet kwalijk nemen, want wat de leraar hem hier spontaan probeert te
laten vatten lijkt simpel maar is feitelijk een pittig staaltje wiskundige logica!

Het gaat als volgt:
1: We nemen een stelling. Bijvoorbeeld dat er een onbekend geheel getal bestaat - laten we dat voor het gemak even x noemen - dat het allerallergrootste gehele getal is dat er bestaat.
2: We weten natuurlijk niet zeker of die stelling wel klopt, maar we nemen aan dat de stelling waar is. Gewoon om eens te kijken wat er gebeurt als de stelling inderdaad waar is.
3: Vervolgens doen we eens stukje redenatie. We weten bevoorbeeld dat als we een getal x hebben, dat we dan altijd een ander getal (laten we dat getal y noemen) kunnen maken door 1 bij x op te tellen. Vervolgens kunnen we vaststellen dat y daarmee groter is dan x.
4: Maar hé, dat is raar! Want onze stelling daarnet was namelijk dat x het allerallergrootste getal was. En nu is er een getal y dat nog groter is. Dat kan niet. Tegenspraak!
5: Maar we hebben nergens een fout in onze redenering gemaakt. Dus is er of iets fundamenteel mis met de wiskunde, of de stelling waarmee we begonnen zijn klopt niet.

Laten we de consistentie van de wiskunde nog even het voordeel van de twijfel geven (als je het daar niet mee eens bent, dan kun je nu natuurlijk stoppen met lezen) dus het moet wel onze eigen stelling - dat er een getal x bestaan dat het allerhoogste getal is wat er bestaat - die niet klopt. Met andere woorden: er bestaat geen allerhoogste geheel getal ofwel er bestaan oneindig veel gehele getallen. Deze manier van bewijzen noemen wiskundigen een 'bewijs uit het ongerijmde'.

Tot zover heeft er denk ik nog niemand hoofdpijn gekregen van dit verhaal (toch?). Maar het verhaal gaat nog één stapje verder. In gedachten spoelen we de bioscoopfilm nog zo'n 8 jaar door. JoJo heeft het klasje verlaten en zit inmiddels een paar jaartjes op de middelbare school waar hij populair is bij de meisjes uit het stadje. De leraar is nu trouwens helemaal grijs geworden en moet nog een paar jaartjes voor hij van zijn pensioen kan gaan genieten en full-time gaat jeu-de-boulen. Ook dit jaar bezoekt hij met zijn leerlingen de kennismakingsdag van de middelbare school van het stadje, waar hij - jawel - JoJo zowaar weer tegen het lijf loopt:

Leraar: "JoJo! Wat ben je gegroeid! Ik had je haast niet herkent! Hoe vergaat het je hier?"
JoJo: "Ha meester! Gaat best hoor. Wel druk met huiswerk en zo..."
Leraar: "O ja? Wat voor huiswerk zoal?"
JoJo: "We hebben net wiskunde gehad, het ging over priemgetallen."
Leraar: "Priemgetallen? Wat zijn dat?"
JoJo: "Het zijn rare getallen die je niet kan delen. Behalve dan door 1 en door zichzelf, maar dat telt niet. Bijvoorbeeld 7 en 11. En 23."
Leraar: "Maar hoe weet je dat dat priemgetallen zijn?"
JoJo: "Gewoon. Proberen. Je moet ze proberen te delen door alle getallen die kleiner zijn. En als dat ergens lukt dan is het dus geen priemgetal. Maar als je bij elke deling een rest overhoudt, dan is het een priemgetal".
Leraar: "Dus als ik wil weten of 11 een priemgetal is dan moet ik het eerst proberen te delen door 2. 11 gedeeld door 2, dat is 5 met rest 1."
JoJo: "Ja, en daarna dan 11 gedeeld door 3, dan krijg je 3 met rest 2. Kan dus nog steeds een priemgetal zijn."
Leraar: "En dan 11 gedeeld door 4. Dat is dan 2 met rest 3."
JoJo: "Delen door 4 dat hoeft eigenlijk niet."
Leraar: "Huh? Daarnet zei je nog van wel?"
JoJo: "Nou ja, het mag wel. Maar omdat je al door 2 hebt gedeeld en toen een rest overhield, kan delen door 4 natuurlijk ook niet zonder dat je rest overhoudt.  Want dat is delen door 2 en dan nog eens delen door 2. Eigenlijk hoef je daarom alleen maar door de priemgetallen te delen. Als dat niet lukt dan kan de rest automatisch ook niet lukken."
Leraar: "O. Welke zijn dat dan nog?"
JoJo zoekt even in de aantekeningen van zijn laatste les. "5, 7 en dan niets meer tot 11", is zijn conclusie.
Leraar: "OK dan: 11 gedeeld door 5 geeft 2 rest 1. En 11 gedeeld door 7 is 1 rest 4. Dus alle delingen geven een rest."
JoJo: "En daarmee is 11 dan ook een priemgetal...".
Leraar: "Goh. Dat is interessant... Hoeveel van die priemgetallen zijn er eigenlijk?"
JoJo bladert in zijn wiskundeboek. "Er staan er tien in mijn boek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29."
Leraar: "En dus 29 is het allerhoogste priemgetal dat er bestaat?"
JoJo moet ineens aan een konijn denken dat hij vroeger kon zien zitten aan een hok aan de overkant van de straat. Vreemd, denkt hij, dat dat beeld hem nu ineens te binnen schiet.
Leraar: "...of zou er misschien nog een priemgetal bestaan dat groter is dan 29?".
JoJo schrikt op van de vraag. "Ik denk het niet", zegt hij bedachtzaam, "want dan had het wel in mijn boek gestaan, lijkt me."
Leraar: "Maar stel nou eens dat je al die priemgetallen die je daar hebt met elkaar vermenigvuldigt. Wat voor getal krijg je dan?".
JoJo zucht even en grabbelt dan in zijn tas. Even later diept hij een klein calculatortje op. Hij zet hem aan en begint de flinke som in the kloppen: "Dan krijg je 6469693230!" zegt hij opgelucht.
Leraar: "Interessant. Zou dat ook een priemgetal kunnen zijn, denk je?".
JoJo kijkt nog eens goed naar het resultaat. "Nee", zegt hij dan beslist. "Want het is deelbaar door 2. Trouwens, het is ook deelbaar door 3. En door 5. En door 7, 11, 13 enzovoort, want die hebben we juist allemaal met elkaar vermenigvuldigd, daarnet."
De leraar kijkt naar het plafond. "Dus.. door welk van onze priemgetallen je het ook maar deelt, het restant van de deling is steeds NUL. Is dat even interessant!".
JoJo kijkt stiekem op zijn horloge.
Leraar: "Ja. Tel er nu eens één bij op?"
JoJo: "Waarbij?"
Leraar: "Bij 6469693230".
JoJo pakt zijn calculator, twijfelt even, en legt hem dan weer weg.  "Dat is makkelijk: 6469693231" zegt hij dan.
Leraar: "Zou dat dan een priemgetal kunnen zijn?"
JoJo: "Dat zal toch niet? Dan zou die wel heel veel groter zijn dan alle priemgetallen die we kennen."
Leraar: "We kunnen het toch proberen. We weten toch alle tien de priemgetallen uit je boek. We hoeven het maar tien keer te delen om erachter te komen"
JoJo zucht. "OK, delen door 2.... geeft rest 1.... Delen door 3.... Ook rest 1. Delen door 5 geeft ook al rest 1." Even is hij stil "Ja! Dat is ook logisch, dat is steeds die 1 die we er net bij opgeteld hebben. Net konden we nog alles netjes delen met rest nul. Nu houden we overal precies als rest de ene over die we erbij hebben geteld!"
Leraar: "Dus?"
JoJo: ".....Het is een priemgetal! Dus 29 is helemaal niet het hoogste priemgetal! 6469693231 is het hoogste priemgetal!"
Leraar: "En zouden er dan nog andere priemgetallen tussen 29 en 6469693231 liggen?"
JoJo: "Dat lijkt me best wel goed mogelijk, maar we kunnen ze natuurlijk vinden door ze één voor één na te rekenen. Dan ben je wel even bezig, maar dan zijn we eindelijk wel een keer van dat enorme gedoe met die priemgetallen af!"
Leraar: "Dat lijkt me wel veel werk. Misschien kan dat ook wel simpeler trouwens. Maar hoe dan ook: stel nou eens JoJo, dat je al straks die priemgetallen van 2 tot 6469693231 hebt gevonden?"
JoJo: "Ja?"
Leraar: "En dat je ze dan weer allemaal met elkaar vermenigvuldigt. Die hele lijst met alle priemgetallen. En er dan weer 1 bij optelt?"
Aan de overkant van de straat lopen drie meisjes voorbij. Eentje zwaait naar het raam van de school.
JoJo: "Sorry meester, maar ik moet nu echt weg. Bent u hier volgend jaar weer?"




(Met dank aan Euclides voor het originele idee)

PS: Het op dit moment (24-1-2012) grootste bekende priemgetal bestaat uit maar liefst12978189 cijfers. Echte liefhebbers kunnen hem hier bekijken.